TEORIA DE ANCELMO LUIZ GRACELI PARA GENERALIZAÇÃO ELETROMAGNÉTICA QUÂNTICA

TEORIA DE ANCELMO LUIZ GRACELI PARA GENERALIZAÇÃO ELETROMAGNÉTICA DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO ENTRÓPICO [RELATIVISTA E INDETERMINADO [ESTATÍSTICO]] TENSORIAL MULTIDIMENSIONAL.

MECÂNICA QUÂNTICA COM TENSOR E OPERADOR DE ANCELMO L. GRACELI.

$G_{\mu \nu }\$ = TENSOR QUÂNTICO DE ANCELMO L. GRACELI

$G$ * = OPERADOR QUÂNTICO DE ANCELMO L. GRACELI

TENSOR DE ANCELMO L. GRACELI.

O TENSOR DE GRACELI REPRESENTA OSCILAÇÕES, ONDULAÇÕES, VARIAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES VIBRAÇÕES , ETC EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO.

COMO PARTÍCULAS VIBRANDO E INTERAGINDO, OSCILANDO, EM ENTROPIA, DENTRO DE SISTEMAS DE CAMPOS E SISTEMAS TÉRMICOS, ETC.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

MECÂNICA QUÂNTICA TENSORIAL E OPERACIONAL DE GRACELI.

TENSOR DE ANCELMO L. GRACELI.

O TENSOR DE GRACELI REPRESENTA OSCILAÇÕES, ONDULAÇÕES, VARIAÇÕES, ENTROPIAS TRANSFORMAÇÕES VIBRAÇÕES ALEATORIEDADE, ETC EM RELAÇÃO AO TEMPO, OU DENTRO DE UM SISTEMA QUÂNTICO.

COMO PARTÍCULAS VIBRANDO E INTERAGINDO, OSCILANDO, EM ENTROPIA, DENTRO DE SISTEMAS DE CAMPOS E SISTEMAS TÉRMICOS, OU QUÂNTICO, ETC.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / $\psi$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $\psi$ / $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

O fluxo de campo elétrico, $\Phi _{E}$ , é uma grandeza escalar e pode ser considerado como uma medida do número de linhas de campo que atravessam a superfície.[2][3] Convenciona-se que se há mais linhas de campo saindo da superfície do que entrando, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e se há mais linhas de campo entrando na superfície do que saindo da mesma, o fluxo é negativo. Além disso, é importante observar o fato de que se o número de linhas de campo que entra na superfície é igual ao número de linhas de campo que sai da superfície, então o fluxo de campo elétrico através da superfície é nulo.[2][4]

Para obter o fluxo do campo elétrico E através de uma superfície fechada em que E é não-uniforme, é preciso dividi-la em elementos de área infinitesimal dA. Define-se, então, um vetor dA cujo módulo é dA, a direção é perpendicular ao elemento de área e o sentido é adotado como o sentido da normal ao elemento infinitesimal saindo da superfície. Assim, esses elementos infinitesimais são tão pequenos que E pode ser considerado constante em todos os pontos de um mesmo elemento de área.[2] Portanto, podemos definir o fluxo de E através de uma superfície S da seguinte forma:

\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

ou, no caso de uma superfície fechada: :{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #ffffff; text-align: center;" | $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$ |}

Da definição de produto escalar, tem-se que: E . dA = |E||dA| cosθ = |E|cosθ |dA|. Como θ é o ângulo entre os vetores E e dA, |E|cosθ é a projeção do vetor E sobre o vetor dA, logo a função desse produto escalar dentro da integral é selecionar algo proporcional à componente do campo elétrico que está "furando" à superfície infinitesimal dA, o que é coerente com a definição de fluxo dada anteriormente.

Por fim, se uma carga pontual estiver fora da superfície, as linhas de campo que partem da carga pontual irão entrar e sair da superfície, visto que as linhas de campo de uma carga pontual são radiais. Por isso, pode-se concluir que se uma carga está fora de uma superfície, então o fluxo do campo elétrico dessa carga através da superfície é nulo, ou seja: :{|cellpadding="5" style="border:2px solid #000000;background: #ffffff; text-align: center;" | $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$ , se $q$ estiver externa à superfície. |}

As linhas de campo elétrico entram e saem da superfície, portanto o fluxo de campo elétrico sobre a superfície é nulo.

Lei de Gauss

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A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. Algumas considerações importantes sobre a de lei de Gauss são:

A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss e vice-versa.[3]
É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de Gauss que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força associada a esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como a força gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação.[3]
Apesar da lei de Coulomb nos fornecer o necessário para calcular o campo elétrico de uma distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do campo elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos razoavelmente simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência da lei de Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples.[3]
A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície gaussiana escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que é uma "superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente escolhida. Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da distribuição de carga permita, ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de intensidade constante.[2]

Forma integral da lei de Gauss

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Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga q em seu interior. Então, escolhe-se outra superfície gaussiana S' que está envolvendo q no interior de S. A forma dessa superfície S' pode ser qualquer, contudo, a fim de facilitar os cálculos e a visualização, vamos fazer dessa superfície S', uma esfera de raio r centrada na carga q. O raio r é tal que S' esteja inteiramente dentro de S.[4] O fluxo do campo elétrico através dessa esfera é dado por:

\Phi _{E}=\oint _{S'}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

Como tanto E quanto dA são radiais, o produto escalar torna-se o produto dos módulos, então:

\Phi _{E}=\oint _{S'}E\ dA

Como |E| é constante na superfície da esfera, podemos tirá-lo da integral e temos:

\Phi _{E}=E\oint _{S'}dA=\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}\right)(4\pi r^{2})={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}

Portanto, é possível observar que o fluxo através da superfície S' é um número que independe do raio da esfera. Dessa forma, o fluxo que sai da superfície S também será ${\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$ . Esse é um valor independente da forma da superfície S, desde que esta tenha uma carga q em seu interior. Se uma carga q está no exterior da superfície S, as suas linhas de campo entram e saem da superfície S, por isso, o fluxo de campo elétrico dessa carga sobre a superfície é nulo. Logo:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0{\text{, se a carga está no exterior da superfície gaussiana.}}

Por fim, se tivermos mais de uma carga no interior da superfície gaussiana, vale o princípio da superposição de modo que:

\oint _{S}\left(\mathbf {E_{1}} +\mathbf {E_{2}} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oint _{S}\mathbf {E_{1}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\oint _{S}\mathbf {E_{2}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{1}+q_{2}}{\varepsilon _{0}}}

Portanto, a Lei de Gauss na forma integral pode ser enunciada da seguinte forma:

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ ; [ $\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$ |}] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $\Phi _{E}=\oint _{S'}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ / [ $\Phi _{E}=\oint _{S'}E\ dA$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A forma diferencial para a lei de Gauss para o magnetismo é:

$\nabla \cdot B=0$

onde $\nabla \cdot$ denota divergente e B é o campo magnético.

Forma integral

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Definição de uma superfície fechada. **Esquerda**: exemplos de superfícies fechadas que incluem a superfície de uma esfera, superfície de um toro e superfície de um cubo. O fluxo magnético através de qualquer uma dessas superfícies é zero. **Direita**: alguns exemplos de superfícies abertas (não fechadas) que incluem a superfície de um disco, de um quadrado e uma superfície de hemisfério. Todas elas têm fronteiras (em vermelho) e elas não limitam um volume tridimensional completamente. O fluxo magnético através dessas superfícies *não necessariamente* é zero

A forma integral da lei de Gauss para o magnetismo declara:

${\textstyle \oiint \limits _{S}B\cdot dA=0}$

Onde S é uma superfície fechada, e dA é um vetor cuja magnitude é a área de uma peça infinitesimal da superfície S e cuja direção é a normal à superfície orientada para fora. (Ver integral de superfície para mais detalhes.)

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $\nabla \cdot B=0$

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[

${\textstyle \oiint \limits _{S}B\cdot dA=0}$

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A lei da indução de Faraday faz uso do fluxo magnético ΦB através de uma superfície hipotética Σ, cujo bordo é um laço de fio metálico. Uma vez que o laço pode estar se movendo com o tempo, escreve-se Σ(t) para a superfície. O fluxo magnético é definido pela integral de superfície:

\Phi _{B}=\iint \limits _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \

onde dA é um elemento de área da superfície Σ(t), B é o campo magnético (também chamado de "densidade do fluxo magnético"), e B·dA é um produto escalar dos dois vetores (a quantidade infinitesimal de fluxo magnético). De outro modo, o fluxo magnético através do laço é proporcional ao número de linhas do fluxo magnético que passam por ele.

Quando o fluxo se modifica — devido a uma mudança do B, ou porque o laço é movido ou deformado, ou ambos — a lei da indução de Faraday afirma que o fio adquire uma FEM, ε, definida como o trabalho por unidade de carga que uma força não-eletrostática realiza quando uma carga é transportada em volta do laço.[12][13][14][nota 2] De forma equivalente, é a voltagem que seria medida ao cortar o arame para criar um circuito aberto, ligando um voltímetro às pontas.

A lei de Faraday afirma que a FEM também é dada pela taxa de variação do fluxo magnético:

{\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\

onde ε é a força eletromotriz (FEM) e ΦB é o fluxo magnético. A direção da FEM é dada pela lei de Lenz.

Para um fio enrolado firmemente em uma bobina, composta de N voltas idênticas, cada uma com o mesmo ΦB, a lei da indução de Faraday afirma:[15][16]

{\mathcal {E}}=-N{{d\Phi _{B}} \over dt}

onde N é o número de voltas do fio e ΦB é o fluxo magnético através de uma única volta.

Equação de Maxwell-Faraday

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A equação de Maxwell-Faraday é uma generalização da lei de Faraday, e afirma que um campo magnético que varia com o tempo é sempre acompanhado por um campo elétrico não-conservativo que varia espacialmente, e vice-versa. A equação de Maxwell–Faraday é:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

(em unidades do SI), onde $\nabla \times$ é o operador rotacional e, novamente, E(r, t) é o campo elétrico e B(r, t) é o campo magnético. Tais campos podem estar em função da posição r e do tempo t.

A equação de Maxwell–Faraday é uma das quatro equações de Maxwell, tendo, portanto, um papel fundamental na teoria do eletromagnetismo clássico. Ela também pode ser escrita na forma integral pelo Teorema de Kelvin-Stokes:[17]

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$ ,

onde Σ é uma superfície limitada pelo seu bordo ∂Σ; E é o campo elétrico; B é o campo magnético; dℓ é um elemento vetorial infinitesimal de ∂Σ; dA é um elemento vetorial infinitesimal de Σ.

Ambos dℓ e dA têm uma ambiguidade de sinal; para obter o sinal correto, usa-se a regra da mão direita. Para uma superfície plana Σ, um elemento de curva positivo dℓ da curva ∂Σ é definido pela regra de mão direita como estando na direção dos dedos da mão direita quando o polegar aponta na direção do vetor normal n exterior à superfície Σ.

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $\Phi _{B}=\iint \limits _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \$ ,] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ ${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\$ ,] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ ${\mathcal {E}}=-N{{d\Phi _{B}} \over dt}$ ,] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ * $G_{\mu \nu }\$ $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ /[ $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$ ,] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

No eletromagnetismo clássico, a lei de Ampère permite calcular o campo magnético $\text{[math]}$ a partir de uma distribuição de densidade de corrente elétrica $\mathbf {J}$ ou de uma corrente elétrica $I$ , ambas estacionárias (independentes do tempo). A partir da Lei de Biot-Savart é possível calcular o campo magnético associado a uma distribuição estacionária de corrente somando-se as contribuições ao campo de todos os elementos infinitesimais de corrente ao longo do circuito em questão. No caso de uma distribuição complicada de correntes o cálculo pode ser bastante trabalhoso e, em muitos casos, exigir o uso de um computador. Entretanto, se a distribuição possui algum tipo de simetria podemos usar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético total, o que facilita consideravelmente os cálculos. O nome da lei é um reconhecimento ao físico francês André-Marie Ampère que a descobriu em 1826.[1]

Motivação histórica

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Em 1819, o físico Dinamarquês Hans Christian Oersted, estudando a ação de uma corrente elétrica sobre um imã, colocou uma bússola (agulha imantada) perpendicular ao fio retilíneo por onde passava corrente, não observando qualquer efeito. Todavia, descobriu que quando colocada paralelamente ao fio a bússola sofria uma deflexão, acabando por orientar-se perpendicularmente a ela. Por conseguinte, uma corrente produz um campo magnético. Os resultados de Oersted foram usados pelo jovem físico André Marie Ampère para formular a Lei de Ampère.[2] No caso de um fio retilíneo muito longo transportando corrente, as linhas de campo magnético são círculos em planos perpendiculares ao fio, e a orientação de tais linhas pode ser obtida por meio da regra da mão direita.

Determinação do campo H e do campo magnético B

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Uma corrente elétrica provoca um campo magnético

Analogamente ao caso de um sistema elétrico com elevado grau de liberdade em que a utilização da Lei de Gauss simplifica enormemente a determinação do campo elétrico, a lei de Ampère pode ser usada para determinar $\mathbf {H}$ e $\mathbf {B}$ num sistema de correntes estacionárias com alguma simetria. Uma vez que $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0$ , as linhas de força magnéticas são necessariamente fechadas (não existem monopólos magnéticos). Um exemplo são as linhas de forças circulares ao redor do fio retilíneo por onde passa uma corrente elétrica. A formula integral da lei Ampère diz que a circulação de $\mathbf {H}$ ao longo de uma linha fechada C é proporcional à intensidade de corrente $I$ que atravessa perpendicularmente a curva C (integral da densidade de corrente elétrica $\mathbf {J}$ na superfície S que assenta na linha fechada C). É importante destacar que isso só válido para correntes estacionárias. A lei de Ampère na forma integral pode ser escrita como:[3]

\oint _{c}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\iint \limits _{S}(\mathbf {J} \cdot \mathbf {n} )dS,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H}

onde $\mu$ é a permeabilidade magnética do meio, com um valor no Sistema Internacional de Unidades (SI):

\mu =\mu _{r}\mu _{0}\quad \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\frac {\text{N}}{{\text{A}}^{2}}}

Num meio homogéneo de permeabilidade magnética $\mu$ , esta lei pode ser simplificada na seguinte expressão, tendo em consideração a relação entre o campo de indução magnética $\mathbf {B}$ e a intensidade de campo magnético $\mathbf {H}$ :

\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \Longrightarrow \oint _{c}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu \iint \limits _{S}(\mathbf {J} \cdot \mathbf {n} )dS

onde $S$ é qualquer superfície cuja curva suporte seja C.

Note-se que a expressão integral da lei de Ampère provêm da aplicação do Teorema de Stokes à lei de Maxwell que relaciona $\mathbf {H}$ com $\mathbf {J}$ ( $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$ ).

\oint \mathbf {H} .d\mathbf {c} =\iint \limits _{S}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} .\mathbf {n} )dS\quad {\overset {\underset {\mathrm {\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} } }{}}{=}}\iint \limits _{S}(\mathbf {J} .\mathbf {n} )dS

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